Lý thuyết

Một hệ phương trình tuyến tính là một hệ thống gồm \( m \) phương trình bậc nhất với \( n \) ẩn có dạng tổng quát như sau:

với \( a_{ij}, b_i \in \mathbb{R} \) với \( i = \overline{1, m}, j = \overline{1, n} \) là các hệ số và \( x_i \) với \( i = \overline{1, n} \) là các ẩn.

Ta đặt

Rõ ràng hệ phương trình (*) có thể được viết lại dưới dạng phương trình ma trận \( AX = B \). Ta gọi \( A \) là ma trận hệ số, \( X \) là ma trận cột ẩn số và \( B \) là ma trận cột hệ số tự do của hệ phương trình (*).

Ký hiệu

được gọi là ma trận hệ số mở rộng hay ma trận bổ sung của hệ. Nếu biết hệ phương trình tuyến tính thì ta viết ngay được ma trận mở rộng của nó. Ngược lại, nếu biết được ma trận hệ số mở rộng của một hệ phương trình tuyến tính thì ta cũng dễ dàng khôi phục lại hệ phương trình đó.

Cho hệ phương trình tuyến tính tổng quát \( n \) ẩn số, với ma trận hệ số \( A \) và ma trận hệ số mở rộng \( \bar{A} \). Điều kiện có nghiệm của hệ được biện luận dựa trên hạng của hai ma trận này như sau:

• i) \( r(A) < r(\bar{A}) \Rightarrow \) Hệ vô nghiệm.
• ii) \( r(A) = r(\bar{A}) = n \Rightarrow \) Hệ có nghiệm duy nhất.
• iii) \( r(A) = r(\bar{A}) = r < n \Rightarrow \) Hệ có vô số nghiệm (phụ thuộc vào \( n - r \) tham số).

Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

• Số phương trình bằng số ẩn
• Ma trận hệ số \( A \) là ma trận không suy biến hay \( \det(A) \neq 0 \)

Cho hệ Cramer có dạng ma trận \( AX = B \). Hệ luôn có nghiệm duy nhất được xác định bởi công thức:

Trong đó:

• \( D = \det(A) \neq 0 \) là định thức của ma trận hệ số \( A \).
• \( D_j \) là định thức của ma trận nhận được bằng cách thay cột thứ \( j \) của \( A \) bằng cột hệ số tự do \( B \).

Để giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử ẩn Gauss, ta làm như sau:

1. Xác định ma trận hệ số mở rộng \( \bar{A} = (A \mid B) \)
2. Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để biến đổi sao cho ma trận hệ số mở rộng chuyển thành dạng bậc thang.
3. Giải hệ phương trình bằng quá trình ngược.

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là hệ có dạng ma trận:

Trong đó, cột hệ số tự do \( B = 0 \).

Hệ \( AX = 0 \) luôn có nghiệm, cụ thể:

• i) Bộ số \( (0, 0, \dots, 0) \in \mathbb{R}^n \) luôn là một nghiệm của hệ và được gọi là nghiệm tầm thường.
• ii) Ngược lại, mỗi bộ số \( (c_1, c_2, \dots, c_n) \in \mathbb{R}^n \) không đồng thời bằng không nếu là nghiệm của hệ thì được gọi là nghiệm không tầm thường.
• iii) Vì ma trận hệ số mở rộng \( \bar{A} \) chỉ thêm một cột toàn số 0 so với \( A \), nên hạng của chúng luôn bằng nhau: \( r(A) = r(\bar{A}) \). Do đó, khi biện luận hệ thuần nhất, ta chỉ cần quan tâm đến hạng của ma trận hệ số \( A \).

Xét hệ thuần nhất có ma trận hệ số \( A \) là ma trận vuông cấp \( n \) (số phương trình bằng số ẩn). Khi đó:

Vì hệ thuần nhất có cột hệ số tự do \( B = 0 \), nên hiển nhiên \( r(A) = r(A^{bs}) \). Kế thừa định lý tổng quát, hệ thuần nhất luôn có nghiệm và việc biện luận được rút gọn lại chỉ còn hai trường hợp:

TH1: Nếu \( r(A) = n \): Hệ có nghiệm duy nhất (chính là nghiệm tầm thường \( X = 0 \)).

TH2: Nếu \( r(A) < n \): Hệ có vô số nghiệm và phụ thuộc vào \( n - r(A) \) tham số.