Lý thuyết

Cho \( A \) là ma trận cấp \( m \times n \). Ma trận được tạo thành từ các phần tử nằm ở phần giao giữa \( r \) hàng và \( r \) cột của ma trận \( A \) được gọi là ma trận con cấp \( r \) của \( A \). Định thức của ma trận con cấp \( r \) của \( A \) được gọi là định thức con cấp \( r \) của \( A \).

Hạng của một ma trận \( A \) là cấp cao nhất của các định thức con khác không có trong \( A \). Ta ký hiệu hạng ma trận là \( rank(A) \) hay ngắn gọn là \( r(A) \).

Lưu ý: Nếu đã biết \( r(A) = k \) thì ta biết \( A \) có ít nhất một định thức con cấp \( k \) khác không và mọi định thức con cấp lớn hơn \( k \) của \( A \) đều bằng không và ngược lại.

Các tính chất quan trọng:

• i) Ma trận \( O \) có hạng bằng 0 hay \( rank(O) = 0 \)
• ii) Hạng của ma trận không thay đổi qua phép chuyển vị, tức là \( rank(A^T) = rank(A) \).
• iii) Nếu \( A \) là ma trận vuông cấp \( n \) thì sẽ có 2 trường hợp xảy ra:
  • TH1:
    \( rank(A) = n \Leftrightarrow detA \neq 0 \)
    Ta nói \( A \) là ma trận không suy biến hay ma trận khả nghịch (tồn tại ma trận nghịch đảo, sẽ tìm hiểu ở bài sau).
  • TH2:
    \( rank(A) < n \Leftrightarrow detA=0 \)
    Ta nói \( A \) là ma trận suy biến hay \( A \) không tồn tại ma trận nghịch đảo.
• iv) Cho \( A, B \) là các ma trận sao cho tồn tại ma trận tích \( AB \). Khi đó:
  • \( 0 \le r(AB) \le \min\{r(A), r(B)\} \)
  • Nếu \( A \) là ma trận không suy biến thì \( r(AB) = r(B) \).

Ma trận \( A \) cấp \( m \times n \) khác không được gọi là ma trận bậc thang nếu tồn tại số tự nhiên \( r \) sao cho:

thỏa các điều kiện sau:

• i) Các hàng bằng không (nếu có) nằm ở dưới các hàng khác không.
• ii) Phần tử khác 0 đầu tiên của hàng dưới nằm về bên phải phần tử khác 0 đầu tiên của hàng trên.

1. Nhân một số \( \lambda \neq 0 \) với một hàng (cột) thứ \( i \) của ma trận. Ký hiệu: \( A \xrightarrow{h_i = \lambda h_i} B \)
2. Đổi chỗ hai hàng (cột) \( i \) và \( j \) của ma trận. Ký hiệu: \( A \xrightarrow{h_i \leftrightarrow h_j} B \)
3. Cộng vào một hàng (cột) với một hàng (cột) khác đã nhân thêm một số \( \lambda \) khác không. Ký hiệu: \( A \xrightarrow{h_i = h_i + \lambda h_j} B \)

Lưu ý: Hạng của ma trận không thay đổi qua các phép biến đổi sơ cấp. Cụ thể, nếu \( A \) là một ma trận bậc thang thì \( r(A) \) bằng số hàng khác không của \( A \).

Để tìm hạng của một ma trận \( A \) tùy ý khác không cấp \( m \times n \ (m, n \ge 2) \) Ta dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận \( A \) về ma trận bậc thang \( B \). Lúc đó hạng của ma trận \( A \) bằng số hàng khác không của ma trận \( B \).

Lúc này \( r(A) = r(B) \) (số hàng khác không của ma trận \( B \)).