Lý thuyết

Định thức
1   Định nghĩa

Với mỗi ma trận vuông \( A \) cấp \( n \), tồn tại một số thực được gọi là định thức của ma trận \( A \), được ký hiệu là \( det(A) \) hay \( |A| \):

\( det(A) = |A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} \)
2   Định thức cấp 2

Cho \( A \) là ma trận vuông cấp 2, định thức (cấp 2) của \( A \) được xác định như sau:

\( detA = |A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \)

Nhận xét: Định thức cấp 2 được tính bằng cách lấy đường chéo chính trừ đường chéo phụ. Định thức cấp 2 được dùng để xác định tích có hướng của hai vector, diện tích hình bình hành và diện tích tam giác trong hình học.

3   Định thức cấp 3

Cho \( A \) là ma trận vuông cấp 3, định thức (cấp 3) của \( A \) được xác định như sau:

\( det(A) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = (a_{11}a_{22}a_{33} + a_{21}a_{32}a_{13} + a_{12}a_{23}a_{31}) - (a_{13}a_{22}a_{31} + a_{32}a_{23}a_{11} + a_{21}a_{12}a_{33}) \)

Nhận xét: Công thức khai triển thường được nhớ theo quy tắc Sarrus như sau:

Quy tắc Sarrus 1

Hoặc có thể ghi nhớ bằng cách thêm 2 cột vào sau định thức như sau:

Quy tắc Sarrus 2
Ví dụ:
\( \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = [(1.5.9) + (4.8.3) + (2.6.7)] - [(3.5.7) + (8.6.1) + (4.2.9)] = 0 \)

Nhận xét: Định thức cấp 3 được dùng để xác định tích hỗn tạp của ba vector, thể tích hình hộp (xiên) và thể tích khối tứ diện trong hình học.

4   Định thức cấp n
*  Phần bù đại số

Xét ma trận

\( A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix} \)

Ta định nghĩa phần bù đại số của \( a_{ij} \), được ký hiệu là \( A_{ij} \) và được xác định bởi:

\( A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot det(M_{ij}) \)

Trong đó, \( M_{ij} \) là ma trận được tạo thành từ ma trận \( A \) sau khi bỏ đi hàng \( i \) và cột \( j \).

Ví dụ: Cho ma trận \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \). Ta có
\( \bullet \ A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = 5.9 - 6.8 = -3 \) \( \bullet \ A_{21} = (-1)^{2+1} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = -(2.9 - 3.8) = 6 \)

Từ định nghĩa phần bù đại số, định thức của ma trận vuông \( A \) được xác định như sau:

\( detA = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \dots + a_{in}A_{in}, \ \forall i = \overline{1,n} \)

Công thức trên được gọi là công thức khai triển định thức theo hàng thứ \( i \), hay:

\( detA = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \dots + a_{nj}A_{nj}, \ \forall j = \overline{1,n} \)

Công thức trên được gọi là công thức khai triển định thức theo cột thứ \( j \).

Lưu ý: Cần chú ý đến đại lượng xác định dấu \( (-1)^{i+j} \) trong công thức phần bù đại số để tránh nhầm lẫn trong việc tính toán. Các công thức khai triển định thức theo hàng hoặc theo cột gọi chung là khai triển Laplace.

Các tính chất quan trọng:

1. Định thức không thay đổi qua phép chuyển vị, tức là: \( detA^T = detA \) (Trong đó \( A^T \): ma trận chuyển vị của ma trận \( A \))

Ví dụ:
\( det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{vmatrix} = det(A^T) \)

Nhận xét: Từ tính chất này, một mệnh đề hay tính chất về định thức nếu đúng với hàng thì cũng đúng với cột và ngược lại.

2. Nếu ta đổi chỗ hai hàng (hoặc 2 cột bất kỳ) của định thức thì định thức đổi dấu.

Ví dụ: Khi đổi chỗ hàng 2 và hàng 3, định thức sẽ đổi dấu:
\( \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix} \)

3. Nếu tất cả các phần tử của một hàng (hoặc một cột) của định thức được nhân với \( \lambda \) thì định thức mới bằng định thức ban đầu nhân với \( \lambda \)

Ví dụ:
\( \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 2 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \)

Nhận xét: Từ tính chất này ta có nếu \( A \) là ma trận vuông cấp \( n \) thì \( det(\lambda A) = \lambda^n detA \)

4. Cho \( A \) là ma trận vuông cấp \( n \). Giả sử hàng thứ \( i \) của ma trận \( A \) có thể biểu diễn dưới dạng: \( a_{ij} = a'_{ij} + a''_{ij} \) với \( j = \overline{1,n} \). Khi đó ta có:

\( detA = \begin{vmatrix} \dots & \dots & \dots & \dots \\ a'_{i1} + a''_{i1} & a'_{i2} + a''_{i2} & \dots & a'_{in} + a''_{in} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \dots & \dots & \dots & \dots \\ a'_{i1} & a'_{i2} & \dots & a'_{in} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \dots & \dots & \dots & \dots \\ a''_{i1} & a''_{i2} & \dots & a''_{in} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \end{vmatrix} \)

Trong đó các dòng còn lại của 3 định thức ở 2 vế là hoàn toàn như nhau và chính là các hàng còn lại của ma trận \( A \). Ta cũng có kết quả tương tự đối với cột.

Ví dụ:
\( \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 6 & 5 & 4 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 0 & 2 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \)

Nhận xét: Các tính chất 2, 3, 4 chính là tính đa tuyến tính thay phiên của định thức. Từ các tính chất trên, dễ dàng suy ra các tính chất sau của định thức:

5. Định thức sẽ bằng 0 nếu:

  • Có hai hàng (hai cột) bằng nhau hoặc tỉ lệ với nhau.
  • Có một hàng (một cột) là tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột khác).

6. Định thức sẽ không thay đổi nếu:

  • Nhân một hàng (một cột) với một số bất kỳ rồi cộng vào hàng khác (cột khác).
  • Cộng vào một hàng (một cột) một tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột khác)
Ví dụ: Tính định thức ma trận \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & 5 \\ -1 & 6 & 5 & -2 \\ 3 & 4 & -2 & 7 \end{pmatrix} \) Lời giải
\( det(A) \xrightarrow{h_2=h_2-2h_1} \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & -1 \\ -1 & 6 & 5 & -2 \\ 3 & 4 & -2 & 7 \end{vmatrix} \xrightarrow[h_4=h_4-3h_1]{h_3=h_3+h_1} \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & -1 \\ 0 & 8 & 4 & 1 \\ 0 & -2 & 1 & -2 \end{vmatrix} \xrightarrow{j=1} \begin{vmatrix} -1 & 3 & -1 \\ 8 & 4 & 1 \\ -2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \dots \)

Nhận xét: Ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tạo ra nhiều số 0 nhất có thể trong 1 hàng hay 1 cột để khi khai triển định thức theo hàng hoặc cột đó sẽ được rút gọn một cách tối ưu.

7. Nếu \( A \) là ma trận tam giác trên, (hoặc tam giác dưới) thì \( detA \) bằng tích của tất cả các phần tử trên đường chéo chính.

Ví dụ: Cho \( A \) là ma trận tam giác dưới, ta có:
\( |A| = \begin{vmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 8 & 4 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (-1).4.(-2) = 8 \)

8. (Định lý nhân định thức). Giả sử \( A = (a_{ij})_n \) và \( B = (b_{ij})_n \) là hai ma trận vuông cùng cấp \( n \), khi đó ta có:

\( det(AB) = det(A) \cdot det(B) \)

Sắp ra mắt

Video trực quan đang trong quá trình biên tập.
Hệ thống sẽ cập nhật trong thời gian tới.

Bài tập

Bài 1. Tính các định thức sau:

a) \( \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} \)
b) \( \begin{vmatrix} 3 & 1 & 4 \\ 5 & -2 & 0 \\ 6 & 1 & -7 \end{vmatrix} \)
c) \( \begin{vmatrix} 2 & 1 & 5 \\ -1 & 4 & 0 \\ 3 & 6 & -2 \end{vmatrix} \)
d) \( \begin{vmatrix} -6 & 1 & 5 \\ 3 & 4 & 7 \\ -8 & 9 & -2 \end{vmatrix} \)
e) \( \begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 & 0 \\ -3 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & -3 & 1 \\ 5 & 0 & 4 & -2 \end{vmatrix} \)
f) \( \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 9 & 16 \\ 1 & 8 & 27 & 64 \end{vmatrix} \)
g) \( \begin{vmatrix} 1 & 1 & -4 & 3 \\ 5 & 9 & -12 & 7 \\ 12 & -5 & 2 & 2 \\ -3 & 1 & 4 & -5 \end{vmatrix} \)
h) \( \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \)

Bài 2. Tính các định thức sau theo tham số:

a) \( \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2x^2 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 9-x^2 \end{vmatrix} \)
b) \( \begin{vmatrix} 1 & a & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \\ -2 & 0 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & b & 0 \end{vmatrix} \)
c) \( \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ a & b & c & d \\ -1 & -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \)

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a) \( \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 1 & x & x^2 \\ 1 & 3 & 9 \end{vmatrix} = 0 \)
b) \( \begin{vmatrix} 1 & x & -2 \\ -1 & 1 & 2 \\ x & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0 \)
c) \( \begin{vmatrix} 2 & x & 2 \\ 2 & 2x-1 & x+1 \\ 3 & -1 & x^2 \end{vmatrix} = 0 \)
d) \( \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 3 & 9 & 27 \\ 1 & 4 & 16 & 64 \end{vmatrix} = 0 \)

Bạn đã hoàn thành các bài tập? Tải lời giải về để đối chiếu nhé!

Lời giải tham khảo