Không gian vector - Vectoria Knowledge

Lý thuyết

Tổ hợp - Độc lập - Phụ thuộc tuyến tính

1 Tổ hợp tuyến tính

Cho \( v_1, v_2, \dots, v_n \) là \( n \) vector (\( n \ge 1 \)) của \( \mathbb{K}- \) không gian vector \( V \) và \( c_1, c_2, \dots, c_n \) là \( n \) vô hướng trong trường \( \mathbb{K} \). Lúc này, vector:

\( v = c_1v_1 + c_2v_2 + \dots + c_nv_n = \sum_{i=1}^n c_iv_i \)

được gọi là tổ hợp tuyến tính (THTT) của hệ vector \( \{v_1, v_2, \dots, v_n\} \).

Khi vector \( v \) là một tổ hợp tuyến tính của hệ \( \{v_1, v_2, \dots, v_n\} \) thì ta bảo \( v \) biểu diễn tuyến tính được qua hệ \( \{v_1, v_2, \dots, v_n\} \).

Hình 1: Ví dụ về tổ hợp tuyến tính

Trong hình 1, vector màu tím \( v = (3, 1) \) là một THTT hay biểu diễn tuyến tính được qua hệ 2 vector màu đỏ \( v_1 = (1, 2) \) và màu xanh lá \( v_2 = (2, -1) \).

Về mặt đại số, \( v \) là THTT của \( \{v_1, v_2\} \) vì:

\( v = v_1 + v_2 = (1, 2) + (2, -1) = (3, 1) \quad \text{với các hệ số} \quad c_1 = c_2 = 1 \)

Ví dụ: Cho tập hợp các vector trong \( \mathcal{M}_2 \):

\( S = \{v, v_1, v_2, v_3\} = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 8 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \right\} \)

Khi đó, \( v \) là THTT của \( \{v_1, v_2, v_3\} \) bởi vì:

\( v = v_1 + 2v_2 - v_3 = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 8 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{với } c_1 = 1, c_2 = 2, c_3 = -1 \)

Ví dụ: Trong \( \mathbb{R}^3 \), cho \( u_1 = (1, 1, 1), u_2 = (1, 2, 3), u_3 = (2, -1, 1) \) và \( v = (1, -2, 5) \). Kiểm tra xem vector \( v \) có là tổ hợp tuyến tính của hệ \( S = \{u_1, u_2, u_3\} \) không?

Lời giải

Cách 1: Biện luận hạng của ma trận

Lập ma trận \( A \) có các cột là các vector \( u_i \) và ma trận mở rộng \( \bar{A} = [A|v] \):

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \bar{A} = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & -1 & -2 \\ 1 & 3 & 1 & 5 \end{array} \right) \)

Biến đổi \( \bar{A} \) về dạng bậc thang:

\( \bar{A} \xrightarrow[d_3 - d_1]{d_2 - d_1} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & -3 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \end{array} \right) \xrightarrow{d_3 - 2d_2} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 5 & 10 \end{array} \right) \)

Kết luận: Ta thấy \( \rho(A) = 3 \) và \( \rho(\bar{A}) = 3 \). Vì \( \rho(A) = \rho(\bar{A}) \) nên \( v \) là tổ hợp tuyến tính của hệ \( S \).

Cách 2: Giải hệ phương trình tuyến tính (phương pháp Gauss)

Từ ma trận bậc thang ở cách 1, ta suy ra hệ phương trình:

\( \bar{A} = \dots \Rightarrow \begin{cases} c_1 + c_2 + 2c_3 = 1 \\ \quad \;\; c_2 - 3c_3 = -3 \\ \quad \quad \quad \; 5c_3 = 10 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c_1 = -6 \\ c_2 = 3 \\ c_3 = 2 \end{cases} \)

Vậy \( v \) là một tổ hợp tuyến tính có dạng \( v = -6u_1 + 3u_2 + 2u_3 \).

2 Độc lập tuyến tính và Phụ thuộc tuyến tính

2.1 Định nghĩa

Cho \( V \) là không gian vector và \( S = \{v_1, v_2 \dots, v_n\} \) là một hệ vector của \( V \), ta nói:

Hệ \( S \) phụ thuộc tuyến tính (PTTT) nếu tồn tại các số thực hay các vô hướng \( c_1, c_2 \dots, c_n \) không đồng thời bằng 0 (tức là có ít nhất một số khác 0) thỏa mãn:

\( c_1v_1 + c_2v_2 + \dots + c_nv_n = 0_V \)

Điều này đồng nghĩa với việc phương trình trên sở hữu ít nhất một nghiệm không tầm thường.

Ngược lại, hệ \( S \) được gọi là hệ vector độc lập tuyến tính (ĐLTT) nếu nó không phụ thuộc tuyến tính. Nói cách khác, hệ \( S \) ĐLTT khi và chỉ khi:

\( c_1v_1 + c_2v_2 + \dots + c_nv_n = 0_V \)

chỉ có nghiệm tầm thường là \( c_1 = c_2 = \dots = c_n = 0 \)

2.2 Các tính chất cơ bản

Hệ chứa vector không luôn PTTT.
Hệ gồm 1 vector PTTT khi và chỉ khi vector đó bằng 0, hệ gồm 2 vector PTTT khi và chỉ khi 2 vector đó tỷ lệ với nhau.
Nếu một hệ vector ĐLTT thì mọi hệ con tùy ý của nó cũng ĐLTT.
Hệ vector \( \{v_1, v_2, \dots, v_n\} \) PTTT khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một vector trong hệ có thể biểu diễn tuyến tính qua các vector còn lại của hệ đó.
Cho hệ vector \( \{v_1, v_2, \dots, v_n\} \) ĐLTT. Khi đó, hệ vector mở rộng \( \{v_1, v_2, \dots, v_n, \mathbf{u}\} \) ĐLTT khi và chỉ khi vector \( \mathbf{u} \) không thể biểu diễn tuyến tính qua hệ \( \{v_1, v_2, \dots, v_n\} \).

Ví dụ: Xét sự ĐLTT/PTTT của hệ \( S = \{u_1=(1,2,3), u_2=(2,5,7), u_3=(1,3,5)\} \) trong \( \mathbb{R}^3 \)

Lời giải

Cách 1: Sử dụng định nghĩa (Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất)

Xét phương trình vector:

\( c_1u_1 + c_2u_2 + c_3u_3 = 0 \)
\( \Leftrightarrow c_1 \cdot (1, 2, 3) + c_2 \cdot (2, 5, 7) + c_3 \cdot (1, 3, 5) = (0, 0, 0) \)

Hệ phương trình tương ứng:

\( \begin{cases} c_1 + 2c_2 + c_3 = 0 \\ 2c_1 + 5c_2 + 3c_3 = 0 \\ 3c_1 + 7c_2 + 5c_3 = 0 \end{cases} \)

Giải hệ, ta tìm được nghiệm duy nhất là \( c_1 = c_2 = c_3 = 0 \) (nghiệm tầm thường). Vậy hệ \( S \) ĐLTT.

Cách 2: Biện luận hạng của ma trận

Lập ma trận \( A \) có các cột (hoặc dòng) là các vector của hệ \( S \):

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 3 & 7 & 5 \end{pmatrix} \xrightarrow[d_3 - 3d_1]{d_2 - 2d_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{d_3 - d_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Nhận thấy, ma trận thu được có 3 dòng khác không, vậy \( \rho(A) = 3 = n \) (số vector). Vậy hệ \( S \) ĐLTT.

Cách 3: Sử dụng định thức (Trường hợp số vector bằng số chiều không gian)

\( \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 3 & 7 & 5 \end{vmatrix} = 1 \)

Vì \( \det(A) = 1 \neq 0 \), suy ra hệ \( S \) ĐLTT.

Nhận xét: Ma trận \( A \) được sử dụng trong cách 2 và cách 3 chính là ma trận hệ số của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất được thiết lập ở cách 1. Tính ĐLTT của hệ \( S \) đồng nghĩa với việc hệ phương trình này chỉ có nghiệm tầm thường, điều này tương đương với việc \( \det(A) \neq 0 \) hoặc có hạng đầy đủ (\( \rho(A) = n \)).

Video trực quan

Nội dung 4 phần

Đặt vấn đề

00:00

Kiến thức chuẩn bị

00:45

Tổ hợp - Độc lập -
Phụ thuộc tuyến tính

02:10

Giải quyết vấn đề

07:50

Bài tập

Tổ hợp tuyến tính

Ví dụ 1: Trong \( \mathbb{R}^3 \), cho hệ vector \( S = \{v_1 = (1, 1, 0), v_2 = (0, 2, 1)\} \) và vector \( v = (2, 6, 2) \). Hỏi \( v \) có phải là THTT của \( S \) không? Lời giải

Xét ma trận mở rộng:

\( \bar{A} = \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right) \xrightarrow{d_2 \rightarrow d_2 - d_1} \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right) \xrightarrow{d_3 \rightarrow d_3 - \frac{1}{2}d_2} \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \)

Ta có \( rank(A) = rank(\bar{A}) = 2 \). Suy ra, hệ có nghiệm duy nhất \( (c_1, c_2) = (2, 2) \).

Vậy \( v \) là THTT của \( S \) và \( v = 2v_1 + 2v_2 \).

Bài 1. Xét xem vector \( v \) có phải là một THTT của hệ \( S \) không? Nếu có, hãy tìm một bộ hệ số \( c_i \) thỏa mãn:

a) \( S = \{(1, 2), (-1, 3)\}, \quad v = (0, 5) \).
b) \( S = \{(1, 0), (0, 1)\}, \quad v = (3, -4) \).
c) \( S = \{(1, 1, 1), (1, 0, 1)\}, \quad v = (2, 1, 2) \).
d) \( S = \{(1, -1, 0), (0, 1, -1)\}, \quad v = (1, 0, -1) \).
e) \( S = \{(1, 2, 3), (0, 1, 2), (0, 0, 1)\}, \quad v = (1, 4, 9) \).
f) \( S = \{e_1, e_2, e_3\} \) (với \( e_i \) là cơ sở chính tắc của \( \mathbb{R}^3 \)), \( \quad v = (x, y, z) \).
g) \( S = \{(1, 2, 1), (2, 1, 3), (1, 1, 1)\}, \quad v = (1, 1, 0) \).
h) \( S = \{(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)\}, \quad v = (2, 3, 4) \).
i) \( S = \{(1, 2, 1), (2, 5, 2), (1, 3, 2)\}, \quad v = (1, 1, 1) \).
j) \( S = \{(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)\}, \quad v = (2, 2, 2) \).
k) \( S = \{(1, 2, 3), (4, 5, 6)\}, \quad v = (7, 8, 9) \).

Bài 2. Giải thích tại sao các vector \( v \) sau đây không phải (hoặc có tính chất đặc biệt) là THTT của hệ \( S \):

a) \( S = \{(2, 1), (6, 3)\}, \quad v = (1, 0) \)

b) \( S = \{(1, 1), (2, 2)\}, \quad v = (1, 2) \)

c) \( S = \{(1, 0), (2, 0)\}, \quad v = (0, 1) \)

d) \( S = \{(1, 2, 3), (2, 4, 6)\}, \quad v = (3, 6, 9) \)

e) \( S = \{(2, 0, 0), (0, 3, 0)\}, \quad v = (4, 6, 1) \)

f) \( S = \{(1, 2, -1), (3, 1, 0)\}, \quad v = (0, 0, 0) \)

g) \( S = \{(1, -2), (2, -4)\}, \quad v = (3, -6) \)

Ví dụ 2: Tìm các giá trị của \( m \) để vector \( u \) là tổ hợp tuyến tính của hệ \( \{u_1, u_2\} \) với \( u_1 = (1, 1, 1); \quad u_2 = (1, 2, 3); \quad u = (1, 4, m) \) Lời giải

Lập ma trận \( A \) từ các vector theo cột và tính định thức: \( \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & m \end{vmatrix} \)

Khai triển theo dòng 1:

\( \det(A) = 1(2m - 12) - 1(m - 3) + 1(4 - 2) = 2m - 12 - m + 3 + 2 = m - 7 \)

Để hệ vector phụ thuộc tuyến tính \( \Leftrightarrow \det(A) = 0 \Leftrightarrow m - 7 = 0 \Leftrightarrow m = 7 \)

Vậy \( m = 7 \) thì vector \( u \) là một tổ hợp tuyến tính của \( \{u_1, u_2\} \)

Bài 3. Tìm các giá trị của \( m \) để vector \( u \) là tổ hợp tuyến tính của hệ vector tương ứng:

a) \( u_1 = (1, 2); \quad u_2 = (2, 4); \quad u = (1, m) \)
b) \( u_1 = (1, 2, -1); \quad u_2 = (2, 3, 1); \quad u_3 = (3, 5, 0); \quad u = (8, m, 1) \)
c) \( u_1 = (2, 3, 1); \quad u_2 = (-4, -6, 2); \quad u_3 = (6, 9, 1); \quad u = (1, 2, m) \)
d) \( u_1 = (1, 2, 4); \quad u_2 = (2, 1, 5); \quad u_3 = (3, -1, 0); \quad u = (m, 3, 1) \)

Bài 4. Trong không gian véctơ ma trận vuông cấp 2, hãy biểu diễn véctơ \( \begin{pmatrix} 11 & 13 \\ 6 & 5 \end{pmatrix} \) theo 4 véctơ \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Độc lập tuyến tính - Phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ: Xét sự ĐLTT hoặc PTTT của hệ \( S = \{u_1 = (1, 2, 1), u_2 = (2, 5, 3), u_3 = (1, 3, 3)\} \) trong không gian \( \mathbb{R}^3 \). Lời giải

Cách 1: Sử dụng định nghĩa (Xét hệ phương trình thuần nhất)

Xét phương trình vector:

\( c_1u_1 + c_2u_2 + c_3u_3 = \mathbf{0} \)
\( \Leftrightarrow c_1 \cdot (1, 2, 1) + c_2 \cdot (2, 5, 3) + c_3 \cdot (1, 3, 3) = (0, 0, 0) \)

Hệ phương trình tương ứng:

\( \begin{cases} c_1 + 2c_2 + c_3 = 0 \\ 2c_1 + 5c_2 + 3c_3 = 0 \\ c_1 + 3c_2 + 3c_3 = 0 \end{cases} \)

Giải hệ trên, thu được nghiệm duy nhất \( c_1 = c_2 = c_3 = 0 \) (nghiệm tầm thường).

Vậy hệ \( S \) ĐLTT.

Cách 2: Biện luận hạng của ma trận

Lập ma trận \( A \) có các cột là các vector thuộc hệ \( S \) và thực hiện các phép biến đổi sơ cấp:

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix} \xrightarrow[d_3 - d_1]{d_2 - 2d_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{d_3 - d_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Nhận thấy \( \rho(A) = 3 = n \) (số vector của hệ). Vậy hệ \( S \) ĐLTT.

Cách 3: Sử dụng định thức (Trường hợp số vector bằng số chiều không gian)

Do hệ \( S \) gồm 3 vector trong không gian \( \mathbb{R}^3 \), ta lập ma trận vuông \( A \) và tính định thức:

\( \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \end{vmatrix} = 1(15 - 9) - 2(6 - 3) + 1(6 - 5) = 6 - 6 + 1 = 1 \)

Vì \( \det(A) = 1 \neq 0 \), suy ra \( \rho(A) = 3 = \) số vector, do đó hệ vector \( S \) ĐLTT.

Bài 1. Xét tính ĐLTT hoặc PTTT của các hệ vector sau trong không gian tương ứng:

a) \( S = \{(1, 2), (3, 4)\} \) trong \( \mathbb{R}^2 \).

b) \( S = \{(1, 1), (2, 2)\} \) trong \( \mathbb{R}^2 \).

c) \( S = \{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\} \) trong \( \mathbb{R}^3 \).

d) \( S = \{(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)\} \) trong \( \mathbb{R}^3 \).

e) \( S = \{(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)\} \) trong \( \mathbb{R}^3 \).

f) \( S = \{(2, -1, 3), (4, -2, 6)\} \) trong \( \mathbb{R}^3 \).

g) \( S = \{(1, 1, 1), (1, 2, 3), (0, 1, 2)\} \) trong \( \mathbb{R}^3 \).

h) \( S = \{(1, 2, 1), (0, 1, 2), (0, 0, 3)\} \) trong \( \mathbb{R}^3 \).

i) \( S = \{(1, -1, 0), (0, 1, -1), (-1, 0, 1)\} \) trong \( \mathbb{R}^3 \).

j) \( S = \{(1, 1, 2), (2, 2, 4), (3, 3, 5)\} \) trong \( \mathbb{R}^3 \).

k) \( S = \{(1, 2, 3), (2, 5, 8), (1, 4, 7)\} \) trong \( \mathbb{R}^3 \).

l) \( S = \{(1, 0, 1), (0, 1, 0), (2, 1, 3)\} \) trong \( \mathbb{R}^3 \).

m) \( S = \{(1, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 1), (1, -1, 0, 1)\} \) trong \( \mathbb{R}^4 \).

Bài 2. Cho biết các hệ vector sau ĐLTT hay PTTT. Giải thích tại sao?

a) \( S = \{e_1, e_2, e_3, e_4\} \) trong \( \mathbb{R}^4 \) (\( e_i \) là các vector thuộc cơ sở chính tắc của \( \mathbb{R}^4 \)).
b) \( S = \{(1, 2), (2, 3), (3, 4)\} \) trong \( \mathbb{R}^2 \).
c) \( S = \{(1, 0), (0, 1), (1, 1)\} \) trong \( \mathbb{R}^2 \).
d) \( S = \{(1, 2, 3), \mathbf{0}, (4, 5, 6)\} \) trong \( \mathbb{R}^3 \) (với \( \mathbf{0} \) là vector không).
e) Cho hai vector \( u, v \) bất kỳ. Xét hệ vector \( S = \{u, v, u + v\} \).

Bài 3. Trong không gian \( \mathcal{P}_2[x] \), xét xem hệ vector \( B = \{u_1 = 1 + 2x, u_2 = 3x - x^2, u_3 = 2 - x + x^2\} \) ĐLTT hay PTTT.

Bài 4.

a) Trong không gian véctơ \( \mathbb{R}^4 \), các vector sau là ĐLTT hay PTTT:
\( u_1 = (1, 1, 1, 1), \quad u_2 = (1, 1, -1, -1), \quad u_3 = (1, -1, 1, -1), \quad u_4 = (1, -1, -1, 1) \)
b) Tìm tất cả các giá trị của \( m \) sao cho véctơ \( u = (m, 1, 2, 3) \) là THTT của bốn vector \( u_1, u_2, u_3, u_4 \)

Bạn đã hoàn thành các bài tập? Tải lời giải về để đối chiếu nhé!

Lời giải tham khảo